Lista de exercícios 01: Revisão de Álgebra Linear

Data de entrega: 31 de outubro de 2025

  1. Sejam as seguintes matrizes:

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ 7 & 5 & 8 \end{array}\right) \text{ e } \mathbf{B} = \left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4\\ 6 & 9 & -5 \end{array}\right)\]

  1. Encontre \(\mathbf{A + B}\) e \(\mathbf{A- B}\).
  2. Encontre \(\mathbf{AA}^t\) e \(\mathbf{A}^t\mathbf{A}\).
  3. Calcule \((\mathbf{A+B})^t\) e verifique que a matriz resultante é igual a \(\mathbf{A}^t + \mathbf{B}^t\).
  4. Mostre que \((\mathbf{A}^t)^t = \mathbf{A}\).
  1. Sejam as matrizes:

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{array}\right) \text{ e } \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right)\]

  1. Encontre \(\mathbf{AB}\) e \(\mathbf{BA}\).
  2. Encontre \(\mathbf{|AB|}\) e verifique se \(\mathbf{|AB| = |A| \cdot |B|}\).
  3. Calcule \(\mathbf{A+B}\) e \(\mathbf{tr(A+B)}\).
  4. Calcule \(\mathbf{tr(A)}\) e \(\mathbf{tr(B)}\) e verifique se \(\mathbf{tr(A+B) = tr(A) + tr(B)}\).
  5. Encontre \(\mathbf{(AB)^t}\) e verifique que \(\mathbf{(AB)^t = B^t A^t}\).
  1. Sejam as matrizes:

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3\\ 2 & -1 &1 \end{array}\right) \text{ e } \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 2 & 0 \\ -1&1 \end{array}\right)\]

  1. Encontre \(\mathbf{AB}\) e \(\mathbf{BA}\).
  2. Calcule \(\mathbf{tr(AB)}\) e \(\mathbf{tr(BA)}\) e verifique se são iguais.
  1. Sejam as matrizes:

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3\\ 2 & 4 & 6 \\ 5 & 10 & 15 \end{array}\right) \text{ e } \mathbf{B} = \left(\begin{array}{ccc} -1 &1& -2 \\ -1 &1& -2 \\ 1&-1&2 \end{array}\right)\]

  1. Mostre que \(\mathbf{AB = 0}\).
  2. Encontre um vetor \(\mathbf{x}\) tal que \(\mathbf{A} \mathbf{x} = 0\).
  3. Mostre que \(\mathbf{|A|} = 0\).
  1. Sejam

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1& 4\\ -1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{array}\right), \mathbf{B} = \left(\begin{array}{ccc} 3 &-2& 4 \\ 7 &1& 0 \\ 2&3&5 \end{array}\right), \mathbf{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), \mathbf{y} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\]

Encontre o que se pede:

  1. \(\mathbf{B} \mathbf{x}\)
  2. \(\mathbf{y^t B}\)
  3. \(\mathbf{x^t A x}\)
  4. \(\mathbf{x A y}\).
  5. \(\mathbf{x y^t}\).
  6. \(\mathbf{({x}-{y})^t A ({x}-{y})}\)
  1. Sejam

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2& 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \text{ e } \mathbf{D} = \left(\begin{array}{ccc} a &0& 0 \\ 0 &b& 0 \\ 0&0&c \end{array}\right)\]

Encontre \(\mathbf{AD}\), \(\mathbf{DA}\) e \(\mathbf{DAD}\)

  1. Sejam

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 3& 2\\ 2 & 0 & -1 \end{array}\right), \mathbf{B} = \left(\begin{array}{cc} 1 &2 \\ 0 &1 \\ 1&0 \end{array}\right), \mathbf{C} = \left(\begin{array}{ccc} 2& 1& 1\\ 5 & -6 & -4 \end{array}\right)\]

  1. Encontre \(\mathbf{AB}\) e \(\mathbf{CB}\). Elas são iguais?
  2. Encontre o posto das matrizes \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{B}\) e \(\mathbf{C}\).
  1. Verifique se as matrizes abaixo são ortogonais:

\[\mathbf{A} = \displaystyle \frac{1}{169} \cdot \left(\begin{array}{cc} 5 & 12\\ -12 & 5 \end{array}\right), \mathbf{B} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)\]

  1. Seja a matriz

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & -2 \end{array}\right)\]

  1. Mostre que \(\mathbf{A}\) é simétrica.
  2. Obtenha os autovalores e autovetores da matriz \(\mathbf{A}\).
  3. Mostre que os autovetores são ortogonais.
  4. Escreva a decomposição espectral de \(\mathbf{A}\).
  5. Obtenha \(\mathbf{A^{-1}}\), seus autovalores e autovetores e a decomposição espectral. Relacione com a decomposição espectral de \(\mathbf{A}\).
  6. Mostre que o determinante de \(\mathbf{A^{-1}}\) é o inverso do determinante de \(\mathbf{A}\).
  7. Mostre que o determinante de \(\mathbf{A}\) é o produto dos autovalores.
  8. Encontre a forma quadrática da matriz \(\mathbf{A}\) e classifique-a.
  9. Mostre que \(\mathbf{(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t}\).
  1. Seja a matriz

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{ccc} 3 & 6 &-1\\ 6 & 9 & 4 \\ -1& 4& 3 \end{array}\right)\]

  1. Encontre a decomposição espectral de \(\mathbf{A}\).
  2. Encontre a decomposição espectral de \(\mathbf{A^2}\) e mostre que a matriz diagonal de autovalores é igual ao quadrado da matriz \(\mathbf{D}\) encontrada na parte \(a.\)
  3. Encontre a decomposição espectral de \(\mathbf{A^{-1}}\) e mostre que a matriz diagonal de autovalores é igual à inversa da matriz \(\mathbf{D}\) encontrada na parte \(a.\)
  1. Dados os vetores \(\mathbf{x^t} = [1 \hspace{0.5cm} 3]\) e \(\mathbf{y^t} = [2 \hspace{0.5cm} -5]\):
  1. Obtenha a norma de \(\mathbf{x}\) e de \(\mathbf{y}\).
  2. Obtenha o ângulo e a distância entre esses vetores.
  3. Obtenha a distância entre \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) na métrica

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{cc} 4 &0\\ 0 & 2 \end{array}\right)\]

  1. Obtenha a distância entre \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) na métrica

\[\mathbf{A} = \left(\begin{array}{cc} 4 &2\\ 2 & 2 \end{array}\right)\]

  1. Uma forma quadrática \(\mathbf{x^t A x}\) é dita ser positiva definida se a matriz \(\mathbf{A}\) é positiva definida. A forma quadrática \(3x_1^2 + 3x_2^2 - 2x_1x_2\) é positiva definida?